Álgebra lineal Ejemplos

$i^{167}$

Paso 1

Reescribe $i^{167}$ como ${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $i^{164}$ .

$i^{164} i^{3}$

Paso 1.2

Reescribe $i^{164}$ como ${(i^{4})}^{41}$ .

${(i^{4})}^{41} i^{3}$

Paso 1.3

Factoriza $i^{2}$ .

${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Paso 2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Paso 2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Paso 2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1^{41} (i^{2} \cdot i)$

Paso 3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 (i^{2} \cdot i)$

Paso 4

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$i^{2} \cdot i$

Paso 5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 \cdot i$

Paso 6

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- i$

Paso 7

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 8

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 9

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Paso 10

Obtén $| z |$ .

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Paso 10.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 10.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = 1$

Paso 11

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Paso 12

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 13

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$